导语
2025年12月，西安电子科技大学数学与统计学院2025级大创团队（指导教师：董灏教授；学生成员：金祥宇、蔡奕涛、令狐嘉乐）依托北太天元平台，完成面向材料计算的偏微分方程数值仿真工具箱研发，相关成果已进入实际应用准备阶段。
工具箱介绍
该工具箱用于解决具有快速振荡系数的多尺度偏微分方程的数值求解。它内置高阶多尺度方法和直接精细数值模拟两种多尺度建模与数值求解方法，专为模拟复合材料、多孔介质等非均匀材料中的复杂物理场（如瞬态热传导与波传播）而设计。
高阶多尺度方法
复合材料等结构在微观尺度上具有复杂的异质性。若采用直接精细数值模拟，必将使用极精细的网格捕捉微尺度行为，会导致计算资源需求巨大、时间成本高昂。
该工具箱基于高阶多尺度方法，其核心思想是将复合材料的复杂响应分解为“等效均质材料”的宏观响应与“代表性单胞”的微观修正。具体而言，在宏观均匀化解的基础上叠加一阶修正项和二阶修正项，连接了微观结构细节与宏观材料性能。高阶多尺度方法将方程的局部平衡残差降至O(epsilon)，从而能够高效、精确地重构材料内部的微观尺度振荡信息。这种“解耦”策略，使得宏观问题可在粗网格上求解，微观问题仅在单个或几个代表性单元上求解，从而极大节省计算单元、内存和CPU时间，并显著提高了数值稳定性。
主要功能
多种方程求解支持：使用高阶多尺度方法求解多种多尺度偏微分方程，包括二维多尺度椭圆型偏微分方程，二维多尺度抛物型偏微分方程和二维多尺度双曲型偏微分方程。
高阶多尺度求解器：核心功能基于高阶多尺度方法，求解二阶多尺度解。
可视化与交互仿真：能够生成三维数值解仿真图像以及二维等值线图。支持交互式分析，帮助用户快速验证设计方案。
经典偏微分方程的数值模拟：除多尺度问题外，工具箱同样对经典偏微分方程的数值求解提供支持。
示例计算结果
多尺度椭圆型偏微分方程
多尺度椭圆型偏微分方程的方程式为：
示例的计算区域为：
采用齐次Dirichlet边界条件，夹杂相材料参数c为1，基体相材料参数c为100，源项；微观尺度与宏观尺度的比率为0.1，夹杂相材料的形状为实际半径为0.03的圆形。
图1 多尺度椭圆型偏微分方程示例计算结果
多尺度抛物型偏微分方程
多尺度抛物型偏微分方程的方程式为：
示例的计算区域为：
终止时间为0.1，初始位置为0；采用齐次Dirichlet边界条件，夹杂相材料参数c为1，d为1，基体相材料参数c为100，d为1，源项；微观尺度与宏观尺度的比率为0.1，夹杂相材料的形状为实际半径为0.04的圆形。
图2 多尺度抛物型偏微分方程示例计算结果
多尺度双曲型偏微分方程
多尺度双曲型偏微分方程的方程式为：
示例的计算区域为：
终止时间为0.1，初始位置为0，初始速度为0；采用齐次Dirichlet边界条件，夹杂相材料参数c为1，d为1，基体相材料参数c为100，d为1，源项；微观尺度与宏观尺度的比率为0.1，夹杂相材料的形状为实际半径为0.04的圆形。
图3 多尺度双曲型偏微分方程示例计算结果
工具箱使用指南
开发团队为工具箱的主要功能和典型应用场景编写了详细的教程。强烈建议您从《工具箱使用示例》开始深入学习。
《函数帮助文档》包含了工具箱中每一个函数的详细语法、输入/输出参数和使用说明。当您需要查询特定函数用法时，请参考此文档。
项目发布地址：https://baltamatica.com/community/sposts/detail/ebdef3b9-820c-79e7-965e-4c212c1e388c.html
工具箱意义
本工具箱聚焦材料计算领域，以全自主研发为核心支撑，集成高阶多尺度方法与直接精细数值模拟两大核心技术，既丰富了北太天元在材料计算领域的功能，更进一步完善其专业生态布局，为国产自主可控科学计算平台的持续发展与壮大注入动力。
北太天元后续将持续推动与高校、科研机构的技术合作，支持科学计算领域工具研发与应用创新。用户在工具箱使用过程中若有疑问或建议，可在北太天元官方开发者社区页面留言交流。
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