连续时间傅里叶变换（CTFT）公式：
每次看到这样的公式就头大，个人觉得其实是没有把抽象的数学和实际应用场景结合起来，导致理解起来很困难，实际用的时候又不会用，所以想着干脆在北太天元里面搞一遍，既能辅助理解，又解决了应用问题，因为实际场景中做信号分析的时候也就是用北太天元这类工具。
音频处理、图像压缩、通信系统、故障分析...
把时域信号拆成不同频率的正弦波，看每个频率有多强。
积分的本质是"加权求和"：
乘以
后积分，相当于计算信号与不同频率复指数波的"相似度"，相似度越高的积分值就越大。
是频谱：表示信号在频率ω处的"强度"（幅值）和"相位"（时间偏移）
从时域到频域：原本看信号随时间怎么变（时域），变换后看信号由哪些频率组成（频域）
第一步：生成一个复合信号
先构造一个看起来有点复杂的信号——比如 50Hz 的基波 + 120Hz 的高频噪声
% 采样参数
fs = 1000; % 采样频率 1000Hz
t = 0:1/fs:1-1/fs; % 时间向量，1秒
% 构造复合信号：50Hz基波（幅值1.0） + 120Hz噪声（幅值0.5）
f1 = 50; % 基波频率 50Hz
f2 = 120; % 噪声频率 120Hz
signal = sin(2*pi*f1*t) + 0.5*sin(2*pi*f2*t);
% 绘制时域信号
figure(1);
subplot(2,1,1);
plot(t(1:100), signal(1:100), 'b', 'LineWidth', 1.5);
title('时域信号（前0.1秒）');
xlabel('时间 (s)');
ylabel('幅值');
grid on;
该信号肉眼根本看不出来有什么规律，即由哪些频率组成。
第二步：对信号做傅里叶变换
使用北太天元内置的快速傅里叶变换函数fft ：
% 做FFT
N = length(signal); % 信号长度
Y = fft(signal); % 快速傅里叶变换
% 计算频率轴
f = (0:N-1)*(fs/N); % 频率向量
subplot(4,1,2);
plot(f,abs(Y));
title("双边频谱，未做归一化和补偿");
xlabel("频率");
ylabel("幅值：abs(Y)");
grid on;频率向量（f）：形象化地理解就是频域信号的X轴。快速傅里叶变换的结果长度与采样点数是一致的，及length(signal)始终是等于length(t)的，用fs/N，实际是在计算频率分辨率，即两个点之间的频率跨度，而用(0:N-1)*(fs/N)就得到了频率向量，及频域的X轴。这里要注意，fs和N并不一定是相等的，fs是采样频率，决定了能分析的最高频率（奈奎斯特频率 = fs/2），而N是采样点的个数，例如这里fs=1000，但是t如果取2s的话，N就是2000了。
第四步，取单边频谱，并进行补偿
% 单边频谱
P1 = P2(1:N/2+1);
% 补偿单边幅值,end在这里等于501（当N=1000时），
% 所以2:end-1实际是2:500，正好避开了直流（索引1）和奈奎斯特频率（索引501）
P1(2:end-1) = 2*P1(2:end-1);
subplot(4,1,4);
plot(f(1:end/2+1),P1);
title("补偿后的单边频谱");
xlabel("频率");
ylabel("幅值");
grid on;单边频谱：由于FFT输出的前半部分（索引 1 ~ N/2+1）对应正频率（0 ~ fs/2 Hz），后半部分（索引 N/2+2 ~ N）对应负频率（-(fs/2-1) ~ -1 Hz），而正、负频率对应位置的幅值是对称相等的，因此我们取一边进行分析即可。
单边幅值补偿：由于正、负频率各自包含了一半的幅值，而现在只取了单边频谱，需要将原负频率中的幅值补偿到正频率幅值中，即2*P1(2,end-1)。这里去掉了第1个点和最后一个点，因为：
最终结果
完整结果如下，可以看到有两个明显的峰值，一个在50Hz处，一个在120Hz处，幅值分别为1和0.5，可以看到傅里叶变换成功把信号拆分出来了。
这样一看，傅里叶变换就很好理解了，而且对相关理论知识的实际应用也搞清楚了。
Q1：除了正余弦波叠加的信号，其他波形叠加的信号能使用傅里叶变换进行分析吗？
A：这里使用了两个正弦波的叠加来构造需要分析的信号，实际应用中，傅里叶变换几乎可以应用在所有波形的信号分析中，例如方波、三角波、锯齿波、高斯脉冲等等，只是分解出来的频谱特点有所不同，例如方波叠加的信号，常见信号在傅里叶变换后输出频谱的特点：
Q2：进行傅里叶变换后，如何知道原始波形？
A：快速傅里叶变换结果Y是一组复数，其取模代表幅值，即abs(Y/N)（除N是在归一化），永远为正，而相位通过相位角angle(Y)得到，再加上频率向量，这样有幅值、有相位、有频率，就可以重建原始信号啦。但实际应用中，通常只关注频率，忽略相位和幅值，因为很多应用只关心“有哪些频率”，不关心“原始信号长什么样”。例如，音频处理的时候，只关心能否过滤掉噪声，振动分析的时候，只关心设备在那个频率共振。
Q3：如果是3个及以上的信号叠加，傅里叶变换还能分离出来吗？
A：可以，傅里叶变换可以分离任意数量的信号叠加，只要它们的频率不同且间隔大于频率分辨率。
公众号